사교육 없이 수학 성적 1등급 받는 공부의 정석

구독자님 안녕하세요.

부모들을 위한 성장 커뮤니티, 그로우써클에 오신 걸 환영합니다. 

앞으로 프리미엄 칼럼으로 구독자님을 찾아뵙게 되어 영광입니다. 

뉴스레터로 가장 먼저, 수학 공부에 대한 부분부터 좋은 정보를 드리려고 합니다. 왜냐하면,

많은 학부모님이 '수학은 사교육 없이는 안 된다'고 생각하며 비싼 학원비와 과외비를 지출합니다.

요새 ㅎㅅ 학원 같은 경우 돈 있어도 들어가지 못한다고 할 정도라고 하니...

자녀가 수학 공부를 잘했으면 하는 강한 바람과
수학 공부에 대한 부모님들의 걱정과 고민이 얼마나 큰지 실감을 합니다.

하지만 유명한 학원을 다닌다고 무조건 성적이 오를까요? 

절대 아닙니다!! 

수학 공부는 제대로 된 교육 방법으로 

제대로 학습하면 어디서든 오릅니다! 

학원이 중요한 것이 아니라 교육 철학과 방법이 "본질"이지요.

오늘 뉴스레터에서는 값비싼 사교육에 의존하지 않고,

오직 '공부의 정석'만으로 수학 최상위 1등급에 도달하는 본질적인 방향성을 알려드리고자 합니다.

뉴스레터인 만큼 이번 글을 시작으로,

본질에서부터 초등에서 잡아야할 수학 교육 방법까지(1편~N편까지)시리즈로 

디테일하게 하나하나씩 다~~ 알려드리겠습니다. 

교사로서 제가 알고 있는 모든 노하우를 녹여서 글을 작성하였습니다. 

장담컨대, 무료로 이렇게까지 알려주는 글은 없을 것이라 확신합니다.

오늘 이 글을 끝까지 읽으신다면,

수학 실력을 늘리는 핵심이 어디에 있는지 

그리고 진짜 수학 실력을 키우기 위해 지금 당장 무엇을 해야 하는지 명확한 답을 얻게 되실 겁니다.

바로 본론으로 들어가겠습니다.

수학 공부의 본질은 무엇일까요?

(단, 여기에서 말하는 수학공부는 입시 중심, 문제 풀이 중심의 공부입니다. 학문하는 수학 공부가 아님을 미리 알려드립니다.) 

"문제에 나온 조건과 구하는 것 사이에 비어있는 과정을 논리적으로 해결하는 것!"

이게 수학 공부의 본질입니다. 

아래 초등학교 5학년 문제를 보겠습니다. 

문장제 문제에서 가장 먼저 확인해야 하는 것은 

'구하려는 것'

'알고 있는 것' = '조건'  입니다. 

이 둘 사이에서 비어있는 과정의 글을 읽고 

수식으로 바꿔 계산하는 것이 수학 문제 풀이의 본질이에요. 

중요하니 다시 말씀 드립니다. 

이것이 수학 문제 풀이의 본질입니다. 

그래서

우리는 무조건 이 세 가지를 기억해야 합니다.

많은 학생이 연산 문제를 끝없이 풀고,

문장제 문제집을 수십 권 해치우고,

심지어 어렵다는 사고력 수학, 심화 문제지까지 섭렵합니다.

그저 '많이' 풀면 언젠가 성적이 오를 것이라 믿기 때문입니다.

하지만 이것 보다 효율적인 방법이 있다면?

그리고 제대로 된 공부 방법이 있다면?

그것은 바로 '문제에 나온 비어있는 과정, 어떻게 해결할래?'라는 질문에 대한 구체적인 답을 스스로 할 수 있느냐에 달려있습니다.

오늘은 문제를 읽으면서 조건 찾는 법 같은 기술적인 부분은 과감히 생략하고,

바로 수학 공부의 '본질'로 들어가 수학 공부의 중심 뼈대를 분명하게 세우겠습니다. 

'비어있는 과정'을 해결한다는 것의 진짜 의미

이 의미를 알기 위해 쉬운 수학 문제를 예시로 설명해보겠습니다.

(직접 풀지 않고, 사고 과정만 따라오셔도 좋습니다.)

자, 이 문제를 분석해 보겠습니다.

1단계: 구하는 것은 무엇인가?

모든 문제 풀이의 첫 번째 질문은 "이 문제에서 구해야 하는 게 뭐야?"가 되어야 합니다.

아이가 문제를 보고 헤맬 때 가장 먼저 해야 하는 질문입니다.

목적지를 알아야 길을 헤매지 않으니까요.

이것을 부모님들은 가장 먼저 물어봐주셔야 합니다. 

아이 스스로도 계속 놓치지 않고 체크를 하게 해야합니다.

비슷한 예로 병원에서는 '목적지' = '환자' 를 놓치지 않기 위해
신분증을 보고 확인했는데도 또 물어보지요.

"선생님 성함과 생년월일은 이야기 해주실래요?" 

다들 병원에 가면 이렇게 물어보는 질문 들어보지 않았나요?

알고 있는데도 한번 더 확인하는 습관!!! 
정말 정말 중요합니다. 

실수를 줄이는 가장 핵심적인 부분이에요. 

아이들도 간호사분들처럼 아는 것도 한번 더 확인하는 습관을 들여야 합니다.

2단계: 조건은 무엇인가?

다음은 조건을 찾는 것입니다.
만약 아이가 "세로 길이 8cm, 가로 길이 5cm, 가로 길이 9cm요."라고 대답한다면, 그건 절반만 찾은 것입니다.

뭐가 남았을까요?

여기서 핵심 조건은 바로 "직각"입니다. 즉, '모든 변과 변이 수직으로 만난다'는 것입니다.

이 조건을 말로 명확하게 표현할 수 있어야 합니다.

사진에서 그냥 무의식적으로 보이는 이런 부분까지도 찾아볼 수 있어야 합니다.

물론, 어떤 아이들은 이 '직각' 조건을 명시적으로 찾지 않고도 자동적으로
'음... 이건 직사각형의 성질을 이용해야겠다. 마주 보는 변의 길이는 서로 같으니까...'라고 생각하며 풀 수도 있습니다.

하지만 이런 아이들조차 문제 풀 때 시간이 된다면, 조건을 세부적으로 찾는 연습을 해야 합니다.

왜일까요?

처음 떠오른 그 '자동적 사고'로 문제를 풀지 못하는 경우가 반드시!!! 생깁니다.

문제를 풀지 못했다면, 

- 조건을 잘못 해석했거나, 찾지 못한 조건을 다시 찾아봐야 합니다.  

그렇기 때문에 정말 쉬운 문제, '자동적 사고'로 풀 수 있는 문제라고 하더라도

생각의 기반이 되는 정보(조건)를 디테일하게 찾는 연습은 아무리 강조해도 지나치지 않습니다.

공책에 문제의 조건을 하나씩 적어보며 구체적으로 작성하는 연습을 해야 합니다. 

사실 여기까지는 기본입니다.

최상위 심화 문제 풀이법이라기보다는, 문장제 문제를 꼼꼼하게 푸는 스킬에 가깝습니다.

진짜는 지금부터입니다.

바로, 개념!

3단계: '비어있는 과정'을 '개념'으로 해결하기

우리는 1, 2단계를 통해 '둘레'(구하는 것)를 구해야 하고, '세 변의 길이'와 '직각'(조건)을 안다는 것을 확인했습니다.

그런데 '비어있는 과정'이 발생합니다.

둘레를 구하려면 모든 변의 길이를 알아야 하는데, 우리는 모르는 변의 길이가 더 많습니다.

이 '비어있는 과정'을 무엇으로 해결해야 할까요?

바로 '개념'입니다.

수학은 수학자들이 약속한 '개념'을 암기하는 데부터 시작합니다.

이 문제에서 '직각'이라는 조건은 "직사각형의 개념과 성질을 사용하세요!"라는 강력한 힌트입니다.

이 '개념'과 '직사각형의 성질'을 이용하면,

우리는 '직각'이라는 조건으로부터 '마주보는 변의 길이는 같다'는 성질을 이끌어낼 수 있습니다.

>> 지금은 초3 수준의 문제이니, 쉽게 도출할 수 있는데 사실 이 수학적 사고 과정이 심화되는 것이 '수학' 공부의 본질입니다. 

이 개념에서 추론한 성질을 통해 위 문제를 풀어보면 이렇게 됩니다. 

즉, 가로 선분들(9cm와 5cm, 그리고 이름 없는 나머지 가로 선분)을 위아래로 움직여 합치면,
결국 9cm와 5cm를 더한 것과 같은 길이가 나옵니다.

세로 선분들(8cm와 이름 없는 나머지 세로 선분들)도 마찬가지입니다.

좌우로 움직여 합치면 가장 긴 세로 길이(8cm)와 그와 마주보는 변의 길이(8cm)가 똑같아 집니다. 

따라서 도형의 둘레의 길이는 (9+5+8) x 2 = 44cm 가 되는 것이죠.

답을 구하는 것보다 더!! 중요한 '비어있는 과정'을 해결한 생각 과정은 이렇습니다.

"모르는 변의 길이가 있다(문제) -> '직각' 조건 발견(조건) -> '직사각형의 성질: 마주보는 변의 길이는 같다'는 개념 적용(개념) -> 흩어진 변들을 이동시켜 합치면 큰 직사각형의 둘레와 같음을 추론(해결)"

이 생각 과정을 

이것이 바로 '비어있는 과정을 논리적으로 해결하는 것'입니다.

이 생각 과정을 지속적으로 경험해보는 것이 진짜!! 수학 1등급을 가르는 공부의 핵심입니다!!

1) 문제 속에서 '조건'과 '개념'을 찾고

2) '조건과 개념' 을 통해 관련된 수학적 실마리를 찾고

3) 모든 정보를 통해 '구하는 것'을 추론한다.

로 수학 공부를 나눈다면, 우리 아이들이 가장 시간을 많이 들여야 하는 부분은

바로 3번입니다.

이렇게도 생각해보고, 저렇게도 생각해보는 과정!!

이 시간을 정말 많이 투자해봐야 합니다.

그래야 진짜 최상위로 가는 수학 실력이 늘어납니다. 

최상위권을 만드는 진짜 수학적 사고 훈련법

앞서 문제를 푸는 3단계 "모든 정보를 통해 '구하는 것'을 추론한다"에 가장 많은 시간을 투자해야 한다고 말씀드렸습니다.

이 '추론하는 시간'을 네가 열심히! '알아서 생각해 봐'라고 하면 실력이 늘까요?? 

절대 아닙니다!! 

아이들은 구체적인 '생각 도구'를 주고 연습과 훈련을 하면 다!! 성장합니다.

아래의 생각 도구들이 바로 '비어있는 과정'을 해결하는 논리적인 길잡이가 됩니다.

가정에서 다음 4가지 방법을 꾸준히 연습시켜 주세요.

1. 거꾸로 생각하기

아이들은 보통 '조건'에서 출발해 '구하는 것'으로 가려고만 합니다.

하지만 길이 막힐 땐, 목적지에서부터 거꾸로 길을 찾아오는 것이 훨씬 효율적입니다.

1) 아이에게 "구하는 것"을 다시 소리 내어 말하게 합니다. (예: "이 도형의 둘레의 길이를 구해야 해.")

2) "그걸 구하려면, 바로 직전에 뭘 알아야 하지?"라고 질문합니다. (예: "둘레를 알려면, 모든 변의 길이를 더해야 해.") 
3) "그런데 우리가 모르는 변의 길이가 있지? 그걸 알려면 또 그 직전에 뭘 알아야 할까?"라고 질문합니다. (예: "길이를 알 수 없는 가로 선분과 세로 선분의 길이를 알아야 해.")
4) "그럼 그건 어떻게 알 수 있지? 문제의 조건 중에 힌트가 있을까?"라고 질문합니다. (예: "아! '직각' 조건이 있네. 이걸 쓰면 '직사각형 성질'을 이용할 수 있겠다!")


이렇게 하나씩 거슬러 올라가면서 내가 알고 있는 정보에서 해결의 실마리를 찾아보는 연습을 하는 겁니다. 

이 방식은 '목적지'에서부터 필요한 정보들을 역으로 추적하게 만듭니다.

'조건'에서 출발하면 여러 가지 정보들이 있어서 헷갈릴 수 있지만,
'구하는 것'에서 출발하면 사용해야 할 '개념'이나 '정보'가 훨씬 명확하게 보일 때가 있습니다. 

어려운 심화 문제가 있다면, 무조건!!! "거꾸로 생각하기" 부터 시작하게 하세요. 

2. 내 생각의 가정을 바꾸어 질문하기 (만약에?)

문제를 푸는 것이 막힌다는 것은 그 문제의 조건과 성질 또는 비어있는 추론 과정에서 어딘가 막혔다는 겁니다. 

위 문제에서는 특히 2가지를 찾지 못할 수 있는데 

1) '직사각형의 성질은 마주보는 변의 길이는 같다' 를 까먹는다. (개념 이해 부족)
2) 도형에서 길이가 적혀있지 않은 변의 길이를 잘라서 합쳐 붙이지 못한다. (마주보는 변과 같다는 것을 모름 = 추론 능력 부족) 

대부분 2번을 못 찾을 겁니다.

이럴 때 부모님이 '내 생각의 가정을 바꾸는 질문'을 던져주셔야 합니다.

아이가 2번에서 막힌 이유는 "나는 저 모르는 변의 '정확한' 길이를 각각 알아내야만 해!"라는 잘못된 가정, 즉 고정관념에 갇혀있기 때문입니다.

이 가정을 '만약에?'라는 질문으로 깨주는 겁니다.

"만약에?" 질문은 아이가 갇혀있던 고정관념을 깨고,

'옮기기', '붙이기', '합치기' 같은 유연한 사고를 할 수 있도록 유도합니다.

[추론 훈련 예시]

아이들은 "이 변(a)의 길이는 얼마지?"라는 하나의 질문에 갇히기 쉽습니다.

이때 부모님이 "만약에 이 변(a)을 저 변(8cm)과 비교하면 어떨까?" 또는 "만약에 이 변(b)을 다른 가로 선분(9cm, 5cm)과 '합치면' 어떻게 될까?"라고 질문을 바꾸어주는 겁니다.

이 질문 하나가 추론의 방향을 완전히 바꾸어 놓고, 막혔던 생각의 혈을 뚫어줍니다.

이렇게 부모와 같이 생각을 다르게 해보는 연습을 하면, 

아이는 나중에 스스로 생각을 다르게 할 수 있게 됩니다.

'지금 내 생각에서 잘못된 부분이 있다면...?' 

'만약에 이렇게 해결을 해본다면...?' 

이 질문이 내면에 내재화 되는 것이죠. 

3. 문제 분해하고 재조합하기

이 추론 방법을 연습하기에 지금까지 풀었던 도형 문제는 어울리지 않아서 (= 너무 간단하기에 분해할 게 없습니다.)

그래서 맨 처음 보여드렸던 5학년 2학기 '분수의 곱셈' 문제로, 이 문제를 통해 '비어있는 과정'을 '문제분해하기'를 통해 어떻게 논리적으로 추론해 나갈 수 있는지 알려드리겠습니다.

위 문장제 문제처럼 긴 문제는

'문제 분해하기' 훈련을 통해 풀면 다소 쉽게 풀 수 있습니다. 

문제들을 분해해서 해결하고

그 해결된 조각들을 다시 합쳐(재조합) 최종 답을 만들게 하는 방식입니다.

[추론 훈련 예시]

이 긴 문제를 3개의 '작은 문제'로 쪼개는 겁니다.

1단계: '작은 문제 1' 해결 (민서 몫 구하기)

2단계: '작은 문제 2' 해결 (시우 몫 구하기) - 여기가 핵심!

3단계: '작은 문제 3' 해결 및 '재조합' (최종 답 구하기)

이런 식으로 '문제 분해 및 재조합' 훈련은 복잡하게 보일 수 있는 과정을

작은 식으로 분해해서 세우고
각 단계의 결과(답)가 '다음 단계의 조건'이 되기도 하며,

결과를 차근차근 재조합하는 훈련입니다.

이 훈련을 통해 아이들은 아무리 긴 문제라도 '내가 풀 수 있는 작은 문제들의 연결'로 보게 되며,
논리적 추론에 자신감을 갖게 됩니다.

지금은 간단한 문제라서 이렇게 쉬운 것을 분해해서 풀어야 해? 
라고 생각할 수 있지만, 

심화 문제를 풀거나 중학교, 고등학교 과정에서는 더 복잡한 과정을 잘게 나눠 해결해야 하는 경우가 있습니다. 

쉬운 수학 과정에서부터 연습 또 연습해보세요.

이렇게 '거꾸로 생각하기', '만약에? 질문하기', '문제 분해하고 재조합하기' 3가지 방법으로 '추론'하는 과정을 꾸준히 연습해보세요.

이 '생각 도구'들이 아이의 손에 익숙해질수록,
아이는 처음 보는 심화 문제 앞에서도 "이건 어떤 생각 과정을 거쳐야 할까?" 하고
즐겁게 수학하는 아이로 성장할 것입니다.

마지막으로 한가지만 강조하고 마무리하겠습니다. 

추론 과정을 연습할 때의 유의점

다만, 이 추론 과정을 가정에서 연습시킬 때 부모님들께서 꼭 유의하셔야 할 점이 있습니다.

다음 뉴스레터 예고

오늘 뉴스레터에서는 '수학 공부의 본질'과 수학 공부에서 가장 어려워하는 '수학적 추론 방법'에 대해 알려드렸습니다. 

다음 뉴스레터에서는, 수학 공부에서 제일 중요한!! '수학 개념 공부법'을 파헤쳐 보겠습니다.

초등학생 때 '개념'을 어떻게 공부해야, 중고등 수학에서도 절대 무너지지 않는 '진짜 실력'이 되는지,

교과서를 활용한 구체적인 '개념 공부법' 노하우로 찾아뵙겠습니다.

다음 편도 기대해 주세요.

감사합니다.

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