초등 수학 “분수” 완전 정복 2

구독자님 안녕하세요.

부모들을 위한 성장 커뮤니티, 그로우써클입니다.

지난 뉴스레터에서 '초등 분수 공부방법 5학년 분모가 다른 분수의 덧셈, 뺄셈' 까지 알려드렸습니다.

오늘은 이어서 분수의 곱셈과 나눗셈에 대해서 알아보려고 합니다.

먼저, 이 글은 아래 글을 읽고 보시면 훨씬! 도움이 많이 될 겁니다.

초등 수학 “분수” 완전 정복 1

https://maily.so/grow.circle/posts/3jrk9p55z51

바로 시작하겠습니다. 

2022 개정 교육과정 학년별 분수 로드맵

먼저 다시 한번, 2022 개정 교육과정에서 분수가 어떻게 짜여 있는지 한눈에 보여드리겠습니다.

일단 초등학교에서 분수가 어떻게 연결이 되는지 쭉~ 보시고

오늘 내용 파악해보시길 바랍니다. 

5학년 2학기 - 분수의 곱셈

▶ 핵심 개념

5학년 2학기 분수의 곱셈은 정말 중요합니다!

가장 어려운 분수의 나눗셈과 직접적으로 연결되기 때문이죠.

분수의 곱셈은 3가지로 나뉩니다.

이 3개 각각이 의미가 다릅니다.

특히 (분수) × (분수)가 핵심인데요,

이건 “전체의 일부에서 또 일부는 어느 만큼?” 이라는 의미입니다.

문제로 예를 들면,

피자 한 판을 시켜서 어제 1/2를 먹었다.

오늘 남은 피자 1/2조각을 아침부터 먹으려니

잘 안 먹혀서 이 남은 피자의 1/3 만큼 먹으면

나는 오늘 피자 한 판의 어느만큼 먹는 것인가?

1/2 x 1/3 은 피자 한 판(전체)로 보면 1/6

이 때 분수를 곱했는데 작아지는 것은 당연하죠?!

남은 피자의 일부니까요.

진분수를 곱하면 당연히 작아진다!

자연수와 다르다는 것을 아이들이 원리를 통해 알아야 합니다!!

▶ 교과서가 가르치는 방식

교과서는 (분수)×(분수)를 도입할 때 직사각형 모형을 사용합니다.

직사각형을 그리고,

 2. 가지고 있는 2/3 조각에 1/4만큼을 선택합니다. (2/3을 4개로 나눈 것중 1개 선택)

“이 색칠된 부분은 전체의 얼마일까요?”

“전체를 12칸으로 나눠 보면 그 중 2칸이네요. 그래서 2/12이에요.”

가로 2/3 × 세로 1/4 = 색칠된 면적 2/12 

사실 이것은 분자끼리(2×1=2), 분모끼리(3×4=12) 곱한 결과와 같습니다.

이 직사각형 면적 모델로 공부를 하게 되면,

분수 곱셈의 의미를 가장 명확하게 이해할 수 있습니다.

▶ 아이들이 자주 하는 오개념

오개념 ① "곱하면 무조건 커진다"는 자연수의 직관

이 오개념이 5학년 2학기 분수 곱셈의 가장 큰 산입니다.

아이들은 2학년부터 5학년까지
약 4년 동안 "곱셈은 같은 수를 여러 번 더하는 것"이라는 동수누가(同數累加) 개념으로 곱셈을 배웁니다.

3 × 4는 3을 4번 더한 것, 결과는 12.

곱하면 반드시 원래 수보다 커집니다(0과 1을 제외하고요).

아이들 머릿속에 "곱셈 = 커지는 연산"이라는 공식이 4년 동안 단단하게 자리 잡습니다.

그런데 5학년 2학기에 갑자기 이런 식이 등장합니다.

"6 × 1/3 = 2"

분명히 곱셈을 했는데, 결과가 원래의 6보다 작은 2가 되어 버립니다.

이때 많은 아이가 두 가지 반응을 보입니다.

첫째, "이건 잘못된 문제"라고 생각하고 답을 자기가 아는 곱셈 결과(예: 18)로 바꿔버립니다.

둘째, 답은 외워서 맞히지만 마음속으로는 끝까지 받아들이지 못하고 그저 "선생님이 그렇대"라고 넘깁니다.

연구에서도 1보다 작은 분수를 곱하면 작아지고, 1보다 큰 분수(가분수, 대분수)를 곱하면 커진다는 것을 인식하는 일은 5학년 학생이 극복해야 할 가장 큰 인지적 장애로 보고됩니다.

이 오개념은 단순히 "이번 문제 틀렸다"의 문제가 아닙니다.

곱셈의 의미 자체에 대한 재구성이 일어나야 하는 지점입니다.

"곱셈은 누적이 아니라, 비율적 변환이다"라는 새로운 의미를 받아들여야 합니다.

오개념 ② 분수의 덧셈과 곱셈의 혼동 — "분자끼리, 분모는 그대로?"

5학년 1학기에 아이들은 분수의 덧셈을 열심히 배웁니다.

그리고 그곳에서 가장 많이 강조한 말이 "분모(단위)는 그대로, 분자만 더한다"였습니다.

1/4 + 2/4 = 3/4 (분모는 그대로!)

그런데 5학년 2학기에 분수의 곱셈을 배우게 되면, 이 강력한 학습 경험이 오히려 발목을 잡습니다.

아이는 무의식적으로 곱셈에도 같은 규칙을 적용하려 합니다.

"1/4 × 2/3 = 2/4 (분자만 곱하고 분모는 그대로 두는 오류)"

"1/4 × 2/3 = 3/7? (덧셈처럼 분자끼리·분모끼리 더하는 오류)"

이 오개념의 핵심은

"왜 곱셈은 분모를 곱하고, 덧셈은 분모를 그대로 두는지"의 의미를 모른 채 절차만 외우고 있기 때문에 생기는 오류 입니다.

의미를 모르고 외운 절차는 시간이 지나면 반드시 무너집니다!

그래서 분수의 덧셈의 의미와 분수의 곱셈 의미를 꼭! 알려주셔야 합니다. 

오개념 ③ 대분수의 곱셈에서 자연수 따로, 분수 따로 곱하기

대분수의 곱셈은 5학년 2학기 후반부에 등장하는데, 여기에서도 가장 많은 오개념이 등장합니다. 

예를 들어 1과 1/2 × 2와 1/3 같은 문제가 나오면, 아이들은 이렇게 풉니다.

(1 × 2) + (1/2 × 1/3) = 2 + 1/6 = 2와 1/6

자연수는 자연수끼리, 분수는 분수끼리 곱하면 된다고 생각하는 거지요.

그런데 사실 대분수는 가분수로 바꾼 후 곱해줘야 합니다. 

1과 1/2 = 3/2

2와 1/3 = 7/3 으로 가분수로 고친 뒤

3/2 × 7/3 = 21/6  또는 3과 1/2 로 풀어야 합니다. 

이 오류는 "분수의 곱셈에서 대분수를 가분수로 고치지 않고 그대로 분자를 곱하는 경우"라는 형태 입니다.

이게 왜 위험하냐면,

4학년 때 대분수의 덧셈에서는 "자연수는 자연수끼리, 분수는 분수끼리 더한다"는 방법이었기 때문입니다.

그래서 아이는 "곱셈도 똑같이 하면 되겠지"라고 자연스럽게 일반화해 버립니다.

덧셈에서 통하던 전략을 곱셈에 잘못 적용하는 전형적인 사례인 거지요.

오개념 ④ (자연수) × (분수)에서 자연수를 분모에 곱하기

이건 아주 흔한, 그러나 부모님이 놓치기 쉬운 오류입니다.

"5 × 2/3" 같은 문제를 풀 때 아이가 이렇게 적습니다.

5 × 2/3 = 2/15 (분모에 5를 곱함)

또는

5 × 2/3 = 10/15 (분자와 분모 둘 다에 5를 곱함)

이 오류 역시 "자연수와 분수의 곱셈에서 자연수를 분모에 곱하는 경우"라는 이름으로 분명하게 보고된 유형입니다.

왜 이런 오류가 생길까요?

아이가 자연수 5를 어디에 곱해야 할지 그 의미를 모르고 있기 때문입니다.

"5의 2/3"이라는 의미를 그림으로 떠올릴 수 있는 아이는 절대로 분모에 5를 곱하지 않습니다.

12개의 사과 중에 1/3은 4개라는 그림을 떠올릴 수 있는 아이는,

5를 분모에 곱하면 결과가 더 작아진다는 것이 의미상 말이 안 된다는 걸 압니다.

의미 없이 절차만 외운 아이가 빠지는 함정인 것이지요.

▶ 부모님이 가정에서 잡아주는 법

자, 그러면 위와 같은 오개념을 가정에서 어떻게 잡아주면 좋을까요?

학원이나 문제집을 더 시키는 것보다 훨씬 효과적인,

일상에서 할 수 있는 방법들을 소개해 드립니다.

① "곱하면 작아질 수도 있다"를 직접 경험하게 해주세요 — 케이크·피자·초콜릿 활용법

"엄마가 과자 12개를 사 왔어. 그 중에 1/4만 먹어도 돼. 몇 개 먹을 수 있어?"

이 질문이 바로 12 × 1/4 = 3 입니다.

아이는 12개의 과자를 4묶음으로 나누고, 그 중 한 묶음을 가져옵니다. 결과는 3개. 

분수의 곱셈은 분수(나눗셈을 수로 만든 것) 이기에

나누고 곱하는 것이 실생활에서 자연스럽게 적용 됩니다. 

그래서 분모는 당연하게 나누는 것이죠. 

분명히 곱셈인데, 원래의 12보다 작아졌다는 것을 손으로, 눈으로, 입으로 경험합니다.

이런 활동을 일주일에 한두 번씩만 자연스럽게 해주셔도 효과가 큽니다.

예를 들어,

이 과정에서 부모님이 꼭 한 번 이렇게 물어봐 주세요.

"근데 이상하지 않아? 곱셈을 했는데 왜 원래 수보다 작아졌지?"

아이가 "1보다 작은 수를 곱했으니까요"
"분수는 나누는 것을 나타낸 수인데 그것을 곱했으니깐요. 나눠야죠!" 라고 답할 수 있으면

오개념 ①이 깨지기 시작한 것입니다.

② 직사각형 모눈종이로 (분수) × (분수)의 의미 그려보기

A4 용지 한 장과 자, 색연필 두 색만 있으면 됩니다.

아까 제가 보여준 직사각형 모델처럼

집에서 1/2 × 1/3 등 분수의 곱셈을 직사각형으로 그려보는 활동을 여러번 해보세요.

이 활동을 여러번이 직접 해본 아이는 "분자끼리, 분모끼리 곱하면 된다"는 절차가 왜 그렇게 작동하는지 마음속으로 알게 됩니다.

가로 2칸 × 세로 3칸 = 전체 6칸(분모 곱셈),

빨간 1칸 × 파란 1칸 = 보라 1칸(분자 곱셈).

직사각형의 면적 구하기와 같다는 것을 직관적으로 이해하지요.

같은 방식으로 2/3 × 3/4, 3/5 × 1/2 등 몇 가지를 더 그려보면,

아이의 머릿속에 "분수의 곱셈 = 직사각형 면적의 부분의 부분"이라는 이미지가 단단히 자리 잡습니다

③ "~의 ~만큼"이라는 말로 식을 읽어보게 하기

분수의 곱셈은 한국어로 읽을 때 "~의 ~만큼"이라고 읽는 습관이 매우 중요합니다.

식을 그냥 "곱하기"라고 읽지 말고, 항상 "~의 ~만큼"으로 읽도록 해주세요.

그리고 그 의미를 한 번 더 풀어서 말로 표현하게 합니다.

예를 들어 6 × 2/3을 식으로 보고 아이에게 "이게 무슨 뜻이야?" 하고 물어보면, 처음에는 "6이랑 2/3 곱하기요"라고만 답합니다.
이때 부모님이 "그 말은, 6을 3등분 한 것(나눈 것) 중 2묶음만큼이야"라고 풀어 주세요.

이걸 며칠 반복하다 보면, 아이가 식만 보고도

"아, 6을 3으로 나눈 것 중 2개니까 4네요"라고 의미적으로 푸는 단계로 올라갑니다.

특히 5 × 2/3에서 아이가 "5의 2/3"이라고 읽고 그 의미를 그릴 수 있다면,

절대로 분모에 5를 곱하는 오류는 발생하지 않습니다.

④ 대분수는 반드시 가분수로 바꾸어 그림으로 그려보기

대분수의 곱셈에 들어가기 전에, 가정에서 "대분수 → 가분수" 변환을 그림으로 충분히 연습시켜 주세요.

1과 1/2을 종이에 그림으로 그려보게 하는 겁니다.

원 두 개를 그리고, 첫 번째 원은 통째로 색칠, 두 번째 원은 절반만 색칠.

그리고 이걸 모두 1/2짜리 조각으로 다시 잘라보면, 첫 번째 원에 1/2 조각 2개, 두 번째 원에 1/2 조각 1개. 합쳐서 1/2 조각 3개 → 3/2

이 그림을 직접 그려본 아이는 "1과 1/2 = 3/2"라는 변환이 왜 (1×2 + 1)/2 = 3/2 라는 식으로 나오는지를 의미적으로 알게 됩니다.

대분수의 곱셈은 절대로 자연수와 분수를 따로 곱하면 안 된다는 것을,

"자연수 부분도 사실은 분수의 한 형태"라는 시각으로 자연스럽게 받아들이게 되는 것이지요. 

⑤ "왜 작아졌어?" "왜 커졌어?" 의미 질문 던지기

분수의 곱셈 문제를 풀 때마다, 답이 나오면 한 번씩 이렇게 물어봐 주세요.

"근데 왜 답이 원래 수보다 작아졌어?"

"이번엔 왜 커졌어?"

예를 들어 4 × 1과 1/2 = 6 이라는 문제를 푼 뒤,

"왜 4보다 큰 6이 나왔지?"라고 물으면 아이가

"1보다 큰 수(1과 1/2)를 곱했으니까요"라고 답할 수 있어야 합니다.

반대로 8 × 3/4 = 6 이라는 문제에서는 "왜 8보다 작은 6이 나왔어?"라고 물어봅니다.

"1보다 작은 수(3/4)를 곱했으니까요"라고 답할 수 있다면 OK입니다.

이런 의미 질문을 매 문제마다 던지는 것이 부담스러우시면, 하루에 한 문제만이라도 좋습니다.

핵심은, 답을 맞히는 것보다 의미를 입으로 설명할 수 있게 하는 것입니다.

이 습관이 들면 아이는 자기가 풀어놓은 답이 말이 되는지 안 되는지를 스스로 검증하기 시작합니다.

5학년 2학기 분수의 곱셈을 의미 중심으로 잘 잡고 가면, 6학년의 분수 나눗셈은 의외로 쉽게 풀립니다. 반대로 5학년에서 절차만 외우고 가면, 6학년에서 무너지기 때문에! 

꼭!! 분수의 개념을 활동으로 제대로 익혀보길 바랍니다. 

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오늘 내용도 살짝 긴거 같습니다! 

제가 모바일 기준으로 뉴스레터 읽기 편하게 짧게 적고 시리즈로 적어보려고 해요.

좀더 읽기 쉽게 잘라서 내일(일요일) 오전 8시에 

6학년 분수의 나눗셈 내용도 바로 연결해서 보내드릴게요! ^^ 

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뉴스레터 피드백을 받고 싶습니다.

저는 구독자님의 이야기를 귀기울여서 더 나은 방향으로 뉴스레터를 운영하고 싶거든요. 

이외에도 뉴스레터에 대한 피드백을 자유롭게  아래 메일로 주시면 제가 많은 도움이 될 것 같아요! ^^

자유롭게 메일 주세요! 

grow.circle.lee@gmail.com

다음 뉴스레터 예고

다음 뉴스레터에서는 ‘초등 수학의 최종 보스 분수3- 분수의 나눗셈' 을 알려드리겠습니다. 

다음 편도 기대해 주세요.

아이가 분수를 즐기며, 수학과 친해지길 바랍니다.

“아이와 부모의 꿈을 키웁니다.”

-Dream_Grow-

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