1982년 5월 1일 시행된 SAT(미국 대입 시험)에 간단해 보이는 도형 문제가 하나 있었습니다. 아래 이미지가 바로 그 문제인데요, 여러분도 풀어보시면 좋을 것 같습니다. 작은 원 A가 반지름이 3배 큰 원 B의 둘레를 따라 돌아서 제자리로 온다면 그동안 작은 원 A는 몇 바퀴를 돌았겠는가 하는 문제입니다.
반지름의 차이가 3배이니까 회전도 3배로 해서 B가 답이 될 것 같지 않나요? 30만 명의 수험생 대부분도 그렇게 생각했습니다. 하지만 오직 3명의 학생만이 진실을 깨달았습니다. 답은 보기에 없는 4였습니다. 심지어 출제자도 당연히 답이 B라고 생각했기 때문에 답이 보기에 없는 사태가 발생했습니다. 세 학생의 증명으로 SAT는 재채점에 들어가야 했습니다.
30만 명 중 3명만 이상함을 느낄 수 있었을 정도로 이 문제의 답은 직관과 거리가 멉니다. 지름이 3배 큰 원의 둘레를 도는데 뜬금없이 4라는 숫자는 어디에서 나온 걸까요?
문제를 더 간단히 접근하기 위해, 똑같은 크기의 동전 2개로 문제의 조건을 수정하고 다시 풀어 보겠습니다. 동전 B의 둘레를 쭉 풀어내서 직선으로 만들었다고 생각해 봅시다. 동전 A가 이 직선 위를 구른다면, 정확히 자기 둘레 길이만큼을 구르는 것이니 한 바퀴를 구르는 게 자명해 보입니다. 아래 그림에서, 위쪽에 그린 것이 바로 이 상황입니다. 동전 B의 둘레를 쭉 풀어낸 직선을 초록색으로 그렸고, 알아보기 쉽게 동전 A의 위에 빨간 점, 동전 A의 아래에 파란 점을 찍었습니다.
이 직선을 다시 원형으로 말아 동전 B의 둘레로 되돌려 봅시다. 1번 타이밍에는 파란 점이 초록색 바닥과 닿아 있습니다. 2번 타이밍에는 초록색 바닥을 기준으로 파란 점이 왼쪽, 빨간 점이 오른쪽에 위치합니다. 3번 타이밍에는 빨간 점이 초록색 바닥에 닿습니다. 3번 타이밍을 직선 위에서 보면(위 그림) 동전이 180도 돌아간 것으로 보입니다. 하지만 원 위에서 보면(아래 그림) 동전이 한 바퀴를 돌아온 것으로 보입니다. 즉 동전 A가 동전 B의 둘레를 따라 돌면, 한 바퀴가 아니라 두 바퀴를 돈 것이 됩니다.
동전 A의 입장에서만 생각하면, 파란 점이 초록색 바닥에 닿았던 상태에서 빙글 돌아 다시 파란 점이 초록색 바닥에 닿을 때를 한 바퀴로 생각할 것입니다. 하지만 동전을 돌리고 있는 우리의 시선에서 보면, 초록색 바닥에 닿는 게 빨간 점이든 파란 점이든, 처음 위를 향했던 빨간 점이 빙글 돌아 다시 위를 향하게 됐을 때가 한 바퀴입니다. 이 차이 때문에 동전이 몇 바퀴를 돌았는지가 우리의 직관과 어긋나게 됩니다.
동전 B의 크기를 다양하게 바꿔가며 직접 실험해 보세요. 동전 A의 회전 수는 동전 B와 동전 A의 반지름 크기 비보다 1 많습니다. 반지름이 3배 차이가 났던 SAT 문제의 경우에도, 그래서 네 바퀴를 돌게 됩니다.
이 문제를 좀 더 큰 스케일로 가지고 오면 지구에 대해서도 생각해 볼 수 있습니다. 1년은 365일입니다. 그렇다면 지구가 태양을 한 바퀴 도는 동안 지구는 365바퀴를 돌게 될까요? 아닙니다. 지구에 찍어 놓은 빨간 점이 태양을 마주보는 횟수는 365번이겠지만, 위에서 보았을 때 지구가 돈 횟수는 그보다 1 많은 366번이 됩니다.
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