잠자는 미녀의 동전은 앞면이 나올 확률이 1/3일 수 있다

'몬티 홀 문제'는 워낙 유명한 문제라 따로 설명은 하지 않겠습니다. 몬티 홀 문제와 비슷한 '베르트랑의 상자 역설'이라는 것이 있습니다. 세 개의 상자가 있는데, 첫 번째 상자에는 금화 2개, 두 번째 상자에는 은화 2개, 세 번째 상자에는 금화 1개와 은화 1개가 들어 있습니다. 상자 하나를 무작위로 선택한 후 동전 하나를 꺼내보니 금화였습니다. 이 상자에서 다른 동전도 금화일 확률은 얼마일까요?

직관적으로는 1/2이라고 생각할 수 있습니다. 남은 동전은 금화 아니면 은화일 테니 말입니다. 하지만 답은 2/3입니다. 뽑은 금화는 첫 번째 상자의 첫 번째 금화, 첫 번째 상자의 두 번째 금화, 두 번째 상자의 금화 셋 중 하나일 것이기 때문입니다. 상자가 첫 번째 상자였을 확률은 2/3이고, 따라서 나머지 동전도 금화일 확률은 2/3입니다.

확률은 곧잘 사람의 직관과는 다르게 움직입니다. 더군다나 몬티 홀 문제나 베르트랑의 상자 역설처럼 이미 어떤 일이 발생했다는 조건이 들어가기 시작하면 더욱 헷갈립니다. 이렇게 너무나 헷갈려서 학자들 간에도 답이 무엇인지 의견이 갈리는 문제가 있습니다. 그 어려움과는 달리 이름은 너무나 친숙한 동화 '잠자는 숲 속의 공주'에서 따온 '잠자는 미녀 문제'입니다.

문제는 이렇습니다:

이 질문에 대한 답은 무엇일까요? 1/2일까요, 1/3일까요?

철학자 데이비드 루이스를 비롯한 '하퍼(Halfer)'들은 확률이 1/2이라고 말합니다. 그 이유는 간단합니다. 동전의 앞면이 나올 확률은 늘 1/2입니다. 미녀가 자든 깨든 춤을 추든 동전의 앞면이 나올 확률은 늘 1/2입니다. 미녀가 일요일에 실험 전에 "내일 던질 동전이 앞면이 나올 확률은?"이라는 질문을 받았다면 당연히 1/2이라고 대답할 것입니다. 미녀가 깨어났을 때에도 동전에 대한 새로운 정보는 얻지 못했으므로, 확률은 여전히 1/2입니다.

하지만 데이비드 루이스가 반박하기 앞서 논문에 이 문제를 실었던 애덤 엘가를 비롯한 '써더(Thirder)'들은 확률이 1/3이라 봅니다. 앞서 몬티 홀 문제나 베르트랑의 상자 역설과 같은 논리입니다. 미녀가 깨어났을 때 가능한 동전과 요일 조합은 다음과 같습니다.

미녀에게 세 경우는 모두 동등하게 가능하므로, 각각의 확률은 1/3입니다. 그리고 앞면이 나온 경우는 세 가지 중 하나뿐이므로, 앞면이 나왔을 확률은 1/3입니다.

극단적으로 뒷면이 나왔을 때 미녀를 백만 번 깨우기로 했더라면, 오늘 자기가 일어난 건 동전이 앞면이 나와 한 번 깨웠기 때문이라고 생각하기보단 뒷면이 나와 백만 번 깨운 것 중 한 번이라고 생각하는 게 합당해 보입니다.

흥미로운 점은 두 입장 모두 논리적으로 일관성이 있다는 것입니다. 실험자 입장에서는 동전은 항상 1/2 확률로 앞면이 나옵니다. 하지만 미녀의 입장에서는 자신이 깨어난 사실을 고려할 때 앞면일 확률이 1/3이 됩니다. 실험을 100번 반복한다면, 실험자는 앞면이 약 50번 나오는 것을 볼 것입니다. 하지만, 미녀는 평균적으로 150번 깨어나게 되며, 그중 50번은 앞면인 상태, 100번은 뒷면인 상태에서 깨어납니다. 따라서 이 문제는 문제를 구체적으로 어떻게 정의할 것인가에 따라 두 답 모두 답이 될 수 있습니다.

그리고 이 문제를 우주의 스케일로 끌어 올리면 더욱 흥미로운 문제가 제기됩니다. 만약 우리가 시뮬레이션 우주를 만들어낼 수 있다면, 그 시뮬레이션 우주 속에도 시뮬레이션 우주가 만들어질 수 있지 않을까요? 이런 물음은 수십억 번 반복될 수 있습니다. 우주가 던진 동전이 앞면이 나왔을 때 시뮬레이션 우주는 만들어질 수 없고, 우주가 던진 동전이 뒷면이 나왔을 때에는 수십억 개의 중첩된 시뮬레이션 우주가 만들어진다면, 우리 우주는 시뮬레이션 우주가 없는 우주일까요, 수십 억 개의 시뮬레이션 우주 중 하나일까요?

더 알아보기

나무위키, 몬티 홀 문제
Wikipedia, Bertrand's box paradox
Wikipedia, Three prisoners problem: 수학적으로는 몬티 홀 문제와 다를 바가 없어 본문에서는 특별히 언급하지 않았습니다.
Veritasium, The Most Controversial Problem in Philosophy